LEMMA ZORN DAN APLIKASINYA DALAM ALJABAR DAN ANALISIS


Oleh: Ayus Riana Isnawati, Henry W. M. Patty, Samsul Arifin, Ningrum Astriawati, Jeinne Mumu, Yunita Septriana Anwar, Fitriani, Sri Wahyuni

Abstract: Unempty set endowed with the partial order is called a partially ordered set (poset). A poset where every pair of its elements have a least upper bound (l.u.b.) and the greatest lower bound (g.l.b.) then called lattice. Zorn Lemma state that if every partially ordered set in which every chain has an upper bound then the set has a maximal element. Moreover this paper discuss about Zorn Lemma and its applications on algebra and analysis.

Kata Kunci: Lattice, Poset, Zorn Lemma

Pendahuluan: Konsep poset termotivasi dari himpunan bilangan asli \mathbb{N} dengan relasi a membagi b, dinotasikan dengan a|b. Untuk setiap a,b,c elemen dalam \mathbb{N}, dipenuhi tiga hal, yaitu (1) a|a, (2) jika a|b dan b|a, maka a=b, dan (3) jika a|b dan b|c, maka a|c. Dengan demikian relasi a membagi b merupakan relasi yang bersifat refleksif, antisimetris dan transitif pada \mathbb{N}. Relasi ini disebut relasi urutan parsial dan disimbolkan dengan “\leq“. Dari [1], Sebarang himpunan yang dilengkapi dengan relasi urutan parsial disebut poset. Lebih lanjut, dalam \mathbb{N} dengan relasi “|” terdapat batas atas terkecil yaitu gcd dari elemenelemennya, sedangkan batas bawah terbesarnya adalah lcm dari elemen-elemennya. Hal ini memotivasi munculnya konsep lattice, yaitu suatu himpunan terurut parsial dimana setiap pasang elemennya memiliki batas atas terkecil dan batas bawah terbesar. Jika a \leq b atau b \leq a untuk setiap pasangan a,b di poset S, maka S disebut rantai (chain). Dalam Lemma Zorn, dikatakan bahwa jika setiap rantai pada suatu himpunan terurut parsial S memiliki batas atas, maka S memiliki elemen maksimal [2]. Lemma Zorn banyak digunakan dalam bidang aljabar maupun analisis. Dalam tulisan ini dibahas pembuktian Lemma Zorn serta aplikasi Lemma Zorn dalam bidang tersebut.

(Makalah ini telah dipresentasikan pada Seminar Nasional Matematika HPA (Himpunan Peminat Aljabar) 2010, Prodi Matematika, Fak. Sains dan Teknologi, UIN Syarif Hidayatullah, Jakarta, 27 Maret 2010)

LEMMA ZORN DAN APLIKASINYA DALAM ALJABAR DAN ANALISIS

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s